Katedra Automatyki Napędu i Urządzeń Przemysłowych AGH w Krakowie

Katedra Automatyki Napędu i Urządzeń Przemysłowych

Wydziału Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie

Liczby zespolone

Co to jest liczba zespolona? Mówiąc ironicznie i w dodatku nieprawdę ale za to obrazowo: jest to liczba, która ma wysokość.

Celowo mówię, że liczba zespolona ma wysokość, ponieważ "zwyczajną" liczbę, liczbę rzeczywistą nauczyciele nauczyli nas traktować jako punkt na osi liczbowej, jako punkt, czyli coś bardzo małego. Nad mikroskopijnością punktu najwięksi filozofowie łamali sobie głowy, podejmując próby wyobrażenia sobie jego zerowej wielkości.

Ponieważ zaś do człowieka bardziej przemawia coś, co może poznać swoimi zmysłami, więc celowo zostało - mylnie, podkreślamy mylnie! - powiedziane, że liczba zespolona ma wysokość, chociaż to nieprawda.

Dlaczego? Bo spróbujmy wyobrazić sobie punkt jako patyczek, a oś liczbową jako rzekę. Każdy patyczek jest większy niż punkt, rzeka tym bardziej, dlatego bez trudu powinniśmy umieć to zrobić. Stoimy nad rzeką i wrzucamy nasz patyczek do rzeki. Umówny się, że jeśli nasz patyk wrzucimy dokładnie w miejscu, gdzie stoimy, to zaznaczyliśmy liczbę "zero", jeśli rzuciliśmy metr w górę rzeki, to zaznaczyliśmy liczbę "minus jeden", a jeśli rzuciliśmy metr w dół rzeki, to zaznaczyliśmy liczbę "jeden".

W ten sposób możemy zaznaczyć dowolną liczbę rzeczywistą. Cechą tej zabawy jest to, że za każdym razem patyk unosi się na powieszchni wody. Kiedy pani w szkole każe maluchowi zaznaczyć na osi liczbowej liczbę -2, ten postawi kropkę na drugiej kresce od zera w lewo, ale postawi ją na osi; nie zdarzy mu się aby postawił ją pod osią lub nad osią - zawsze na osi.

Tak samo i my wrzucimy patyk dwa metryw górę rzeki, a ten osiądzie na gładkiej tafli wody.

Otóż liczby zespolone to takie patyki, które mogą tonąć lub unosić się nad powieszchnią wody. To dlatego powiedziano, że liczby zespolone mają wysokość, chociaż z drugiej strony to nie jest zupełnie tak, patyczek nie rozciągnął się przecież - jest wyżej lub niżej. Jest mu to bez różniczy gdzie jest; w szczególności może być na powieszchni wody, skąd wypływa wnisosek, że liczba rzeczywista jest szczegolnym przypadkiem liczby zespolonej.

Tak jak w przyrodzie nie ma latających patyków, tak nikt nie natknie się w niej na liczbę zespoloną. Liczby zespolone są wymysłem matematyków.

Jak więc matematyka radzi sobie z opisem tych liczb? Jeśli uczeń zaznaczałby punkty pod osią lub nad osią, to zaznaczałby liczby zespolone. Gdyby dodatkowo ściągnął tablicę ze ściany i położył ją leżąco na podłodze, to zrobiłby z niej to, co matematycy nazywają płaszczyzną Gaussa. Każdy punkt na niej - to liczba zespolona.

Punkty takie można zaznaczać... tak, jak punkty: (-2,-1), (-2,1). Pierwszy patyk rzucony dwa metry w górę rzeki zanurkował mert pod wodę, a drugi zawisł mert nad wodą. Już mówiłem, że nie ma takich patyków, że są wymysłem matematyków.

W wymyślaniu niestworzonych rzeczy widać ich jawną złośliwość! Nie pozostaniemy im dłużni i w rewanżu - zbezcześcimy definicję liczb zespolonych: zanim matematycy je zdefiniują rozkoszują się po drodze Teorią Grup i takimi pojęciami z niej zaczerpniętymi jak grupa, pierścień, ciało grupa abelowa, aby w rezultacie skończyć na tym, co robi każdy dzieciak w podstawówce, czyli stawianiu punktów na płaszczyźnie.

Nie pozwólmy się katować matematykom Teorią Grup i umówmy się między sobą, że liczbą zespoloną będziemy nazywać parę liczb (a,b), z których a i b należą do liczb rzeczywistych. Pewnie każdy matematyk dostanie drgawek, gdy zobaczy tą definicję, ale cóż, nam to wystarczy.

Nawet najlepsze liczby nic nie są warte, jeśli nie można na nich wykonywać działań.

Oto definicje dodawania i mnożenia z zbiorze liczb zespolonych:

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych

gdzie s to liczba zespolona. Zbiór liczb zespolonych najczęściej oznacza się przez wielką literę C; napiszemy wówczas:

Definicja liczby zespolonej

gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych. Znak oznacza dodawanie, a znak oznacza mnożenie w zbiorze liczb zespolonych.

Wspomniano, że liczba rzeczywista jest szczególnym przypadkiem liczby zespolonej i można ją utożsamić z takim patyczkiem z pośród licznych fruwających i nurkujących patyków, który przypadkowo osiadł na tafli wody. Utożsamienie to można zapisać:

Załóżmy, że chcemy dodać i pomnożyć dwie liczby zespolone: (a,0) i (c,0), czyli takie, które możemy utoższamić z liczbami rzeczywistymi a i c. Powyższe wzory na dodawanie i mnożenie nic nie byłyby warte, gdyby nie dawały odpowiednio wyników: a+c i ac.

Że tak się dzieje - przekonajmy się sami:

Sprawdzenie dodawania i mnożenia

A pamietając o utożsamieniu (a,0)=a, możemy zapisać:

Utożsamienie dodawania i odejmowania

Jeśli liczbę zespoloną s oznaczymy przez (a,b), to a nazywa się częścią rzeczywistą, zaś b - częścią urojoną.

Niezmiernie ważną jest tzw. jednostka urojona. Definiuje się ją jako liczbę zespoloną:

j=(0,1)

Jednostka urojona ma zadziwiającą właściwość:

a ponieważ liczbę zespoloną (-1,0) wolno nam utożsamić z -1, więc:

co zadaje kłam twierdzeniu, że każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna.

Wykonajmy działanie:

Mając w pamięci definicję jednostki urojonej, oraz zastępująz znaki

zwykłym znakiem dodawania i znak

zwykłym znakiem mnożenia, możemy liczbę zespoloną (a,b) zapisać jako:

Zapis liczby zespolonej

a skoro tak, to również definicje dodawania i mnożenia można zapisać w następujący sposób:

Dodawanie i mnożenie raz jeszcze

Tak jest o wiele łatwiej wykonywać działania

Dla liczby zespolonej s=(a,b) definiuje się do liczbę sprzężoną i oznacza na jeden z dwu poniższych sposobów:

Pamiętacie patyki (-2,-1) i (-2,1)? Według tej definicji są to patyki sprzężone.

Gwiazdy nad sobą i gwiazdy pod sobą
I dwa obaczysz księżyce

pisał nasz wieszcz; owe odbite gwiazdy i księżyc też są sprzężone do tych prawdziwych.

Na koniec jeszcze jedna definicja - moduł liczby zespolonej:

Jeśliby wrzucane pod wodę patyki wiązać na sznurku, to ługość naprężonego sznurka byłaby modułem (dlatego też trudno zrozumieć, dlaczego nazywa się to moduł, a nie naprężenie liczby zespolonej).

Liczby zespolone okazują się mieć zaskakujące właściwości. Z jedną już się spotkaliśmy: potrafią wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych.

Zbiór liczb zespolonych matematycy często nazywają ciałem liczb zespolonych.

Znane jest twierdzenie ze szkoły średniej, że wielomian n.tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków. Jeśli dziedzinę tego wielomianu rozciągniemy na liczy zespolone, a nawet gdyby jego współczynniki były zespolone, wtedy okaże się, że ma on dokładnie n pierwiastków zespolonych i to różnych. To wspaniale, bo rozwiązując równanie w dzielinie liczb zespolonych nie musimy się obawiać, że nie dostaniemy rozwiązań; wiemy, że zawsze je dostaniemy i będzie ich dokładnie tyle, którego stopnia jest równanie.

Ale liczby zespolone mają też i smutne właściwości: w ciele liczb zespolonych nie ma relacji mniejszości... Liczby rzeczywiste umieszczamy na osi liczbowej i dlatego bez trudu o dwu takich liczbach można powiedzieć, że pierwsza jest mniejsza, gdy leży na lewo od drugiej. Liczby zespolone leżą na płaszczyźnie Gaussa i tu już nie daje sie określić, która liczba zespolona jest większa, a która mniejsza.

Dobrze znana jest szkolna funkcja:

Wykres tej funkcji można narysować na papierze, ponieważ jest nim zbiór punktów (x,x²) ale chyba nikt nie potrafi sobie wyobrazić (nie mówiąc o narysowaniu!) funkcji:

ponieważ już jej dziedzina jest dwuwymiarowa, dla zaznaczenia wartości potrzebne są kolejne dwa wymiary - w sumie wykres tej funkcji, to jakaś powieszchnia rozciągnięta w czerowymiarowej przestrzeni...

A transmitancja G(s) jest przecież funkcją funkcją zmiennej zespolonej.

Proszę sobie nie wyobrażać, że automatyk musi sobie wyobrażać wykresy w przestrzeni czterowymiarowej.

Przeciwnie, automatycy nauczyli się odczytywać własności obiektu dynamicznego reprezentownego za pomocą transmitancji G(s) patrząc na współczynniki transmitancji.

Dla przykładu: obiekt proporcjonalny opisany jest równaniem: